Série limérique

El sonme ed deus nombes ch'est ech résultat ed leu addicion.

3 + 8 = 11

Série limérique

Unne série limérique ch'est el généralisacion del nocion d' sonme finie.

Chés sonmes ed suites d' nombes sont notées avu ch'symbole sonme $\sum$.

$\sum _{i=m}^n{a}_i=a_m+a_{m+1}+a_{m+2}+\cdots +a_{n-1}+a_n$

$\sum _{i=3}^6{i}^2=3^2+4^2+5^2+6^2=86.$

$S=1+2+3+...+(n-1)+n=\sum _{i=1}^{n}i=\frac{n(n+1)}{2}.$

Série limérique converginte et diverginte

Soit $(u_k{)}_{k\in \mathbb{N}}$ unne suite ed nombes réels avu ech terme général $u_k$.

• chés réels $S_n:=\sum _{k=0}^n{u}_k$ ch'est chés sonmes parcielles del série
• el série converge si el suite $(S_n)$ a unne limite finie. Dins ch' cas-lo, el sonme del série est el limite del suite des somnes parcielles :

  $\sum _{k=0}^{+\mathrm{\infty }}{u}_k=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{S}_n$

  et el suite $(R_n)$ d'chés restes est définie par:

  $R_n=\sum _{k=0}^{+\mathrm{\infty }}{u}_k-S_n=\sum _{k=n+1}^{+\mathrm{\infty }}{u}_k$.

• Si unne série n' converge point, o dit qu' al est diverginte.

Afute : chés notacions : $\sum _{k\ge 0}{u}_n$, $\sum _{k=0}^n{u}_k$ et $\sum _{k=0}^{+\mathrm{\infty }}{u}_k$ sont des coses différintes.

Egzimpe : série jométrique

El sonme

$S_n$

des

$n+1$

prumiers termes d'unne suite jométrique

$u_n=q^n$

avu un prumier terme

$u_0=1$

et d' roéson

$q\ne 1$

est :

$S_n=u_0+u_1+\cdots +u_n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}.$

• Si $|q|<1$ alors $q^{n+1}$ tend vers $0$ quand $n$ tend vers l'infini. El suite $(S_n)$ a unne limite finie :

  $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{S}_n=\frac{1}{1-q}$.

• El série ed terme général $q^n$ converge :

  $\sum _{k=0}^{+\mathrm{\infty }}{u}_k=\frac{1}{1-q}$

• Si $|q|>1$ alors $|q^{n+1}|$ tend vers $+\mathrm{\infty }$ quand $n$ tend vers l'infini donc $|S_n|$ auchi. El suite $(S_n)$ n'a point d' limite finie (si $q>1$, $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{S}_n=+\mathrm{\infty }$ ; si $q<-1$, $(S_n)$ n'a autchune limite, finie o infinie).

  El série ed terme général $q^n$ diverge.

• Si $q=-1$, $S_n$ vaut alternativemint 1 et 0. Il n'y a point ed limite.

  El série $\mathrm{\Sigma }(-1{)}^n$ est diverginte.